問題 1.2 商空間上の連続函数 - RiemannSurface’s diary

記念すべき二問目の演習(笑) やっていきましょう.

問題 1.2 $X$ を位相空間とする. $f\colon \mathbb{P}^1 \to X$ を $\mathbb{P}^1$ から $X$ への写像とする.
このとき, $f$ が連続であることと $f \circ \pi \colon \mathbb{C}^2 -\{(0,0)\} \to X$ が連続であることは同値である. これを示せ.

これはもう少し一般化した形で解答を得られるので,

定義 1.2.1 $(A,\mathcal{O})$ を位相空間, $B$ を集合, $\pi\colon A \to B$ を $A$ から $B$ への写像とする.
このとき, $\mathcal{V}:=\{V \subset B|f^{-1}({V}) \in \mathcal{O}\}$ はBの位相を定める.
この $(B,\mathcal{V})$ を $\pi$ による $A$ の商空間と呼ぶ.

補題 1.2.2 $(B,\mathcal{V})$ を $\pi$ による $A$ の商空間, $X$ を位相空間とする. $f\colon B \to X$ を $B$ から $X$ への写像とする. このとき, $f$ が連続であることと $f \circ \pi \colon A \to X$ が連続であることは同値である.
（証明）
$f$ が連続
$\iff$ $X$ の任意の開集合 $W$ に対して, $f^{-1}(W)$ が $B$ の開集合
! $\iff$ ! $X$ の任意の開集合 $W$ に対して, $\pi^{-1}(f^{-1}(W))$ が $A$ の開集合
$\iff$ $X$ の任意の開集合 $W$ に対して, $(f \circ \pi )^{-1}(W)$ が $A$ の開集合
$\iff$ $f \circ \pi \colon A \to X$ が連続.