問題1.7 正則関数は整域,有理型関数は体

この問題にも略解が付いていないので, 多少需要があるでなかろうか.
さて問題文は以下の通り（p.16*1）

問題 1.7 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(V)$ は整域, $\mathcal{M}_{\mathbb{P}^1}(V)$ は体であることを示せ.

記号の意味ははp.15に書いている.
また重要な事実として, $V$ は $\mathbb{P}^1$ の領域（連結な開集合）である

まず初めに, $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(V)$ も $\mathcal{M}_{\mathbb{P}^1}(V)$ も共に可換環であることに注意しよう.

さて次は, $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(V)$ が整域であることを示そう.
$f \in \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(V)^{\times}$ ,
$g \in \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(V)$ で $f \cdot g =0$ なるものを取ってこよう.
このとき $g=0$ を示せばよい.

ここで $A:=g^{-1}(0)=\{P \in V|g(P)=0\}$ と定めよう.
さて $A$ は空ではない $V$ の閉集合である.

1. $A$ が空でないことの証明
$A$ が空だと仮定する,任意の $P\in V$ に対して $g(P)\neq$ であると仮定する.
一方で, $f \cdot g =0$ ,つまり任意の $P\in V$ に対して $f(P)\cdot g(P)=0$ となる.
したがって, ${}^{\forall P \in V} f(P)=0$ .これは $f \neq 0$ に矛盾する.

2.Aが閉集合であることの証明
一点集合 $\{0\}$ はハウスドルフ空間 $:\mathbb{C}$ の閉集合である.
したがっって連続写像による閉集合の引き戻しである $A=g^{-1}(0)$ は $V$ の閉集合である.

さて次は $A$ は $V$ の開集合でもあることを示そう.
ここでも背理法を使おう. $A$ が $V$ の開集合でないことを仮定する.
つまり, $a \in A$ が存在して,
$a \in A$ の任意の開近傍 $O \underset{open}{\subset}V$ に対して,
$O \cap A^{c} \neq \emptyset$ .
このとき, $a$ の開近傍として,中心 $a$ 半径 $1/n$ の開円盤を取る.
上の仮定から ${}^{\exists}a_{n} \in \mathbb{D}_{1/n}(a)\cap A^{c}$ である. つまり, $A^{c}$ 元からなる点列で $a \in A$ に収束するものがとれる.
一方で $f$ について視点を変えると
${}^{\exists}\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \in V^{\mathbb{N}} s.t. \lim_{n \to \infty} a_n=a,f(a_n)= 0$ である. ここで一致の定理から*2
$f=0$ となるがこれは矛盾.