問題 1.5 射影直線上の有理型関数

問題は以下の通り(p.14*1 )
これも問題略解に誤植があるので注意が必要!!

問題 1.5
1. 次の２つの有理型関数が貼りあわされて $\mathbb{P}^1=\mathbb{C}_z \cup \mathbb{C}_w$ 上の有理型関数 $f$ を定めたという.定数 $a,b,c$ の値を求めよ： $f_z(z)=\frac{z+1}{z-2}$ , $f_w(w)=\frac{aw+b}{cw+1}$ .
2. $\mathbb{C}_z$ 上の有理型関数 $f_z(z)=\frac{z^2+1}{z^3-1}$ , $g_z(z)=z^4-1$ はそれぞれ一意的に $\mathbb{P}^1$ 上の有理型関数 $f$ , $g$ に延長されることを示し, $f$ , $g$ の零点, 極及びそれらの位数を求めよ.
3. $\mathbb{C}_z$ 上の正則関数 $h_z(z)=e^z$ は $\mathbb{P}^1$ 上の有理型関数に延長できるか.

これらの問題はすべてp.9の(1.5)式

$V_z \cap V_w$ 上 $f_w(w)=f_z(\frac{1}{w})$

という条件について考えていくものだ. 式だけではわかりづらいので図にしてみた

f:id:RiemannSurface:20180521024050j:plain

について
$f_z(\frac{1}{w})=\frac{\frac{1}{w}+1}{\frac{1}{w}-2}=\frac{w+1}{-2w+1}=\frac{aw+b}{cw+1}=f_w(w)$
有理型関数の剛性から $(a,b,c)=(1,1,-2).$

（極について考え $c=-2$ . $w=0$ について考え $b=1$ . $w=-1$ について考え $a=1$ と結論付けてもよいですね.）

について
延長されるなら, $f_w$ , $g_w$ はどのような形をしている必要があるのかを考えよう.

まずは $f$ について考えていこう.
$f_w(w)=f_z(\frac{1}{w})$ から
$f_w(w)$ $=\frac{(\frac{1}{w})^2+1}{(\frac{1}{w})^3-1}$ $=\frac{w+w^3}{1-w^3}$
これは有理型関数なので, 二つの有理型関数, [texf_z], $f_w$ が貼りあわせると, $f$ が得られる.
次はこの $f$ の零点と曲を調べていく,
$f_z(z)=\frac{z^2+1}{z^3-1}$ は,
$z=\pm \sqrt{-1}$ に一位の零点*2
$z=\zeta_3^k(k=0,1,2)$ に一位の極

$f_(w)=\frac{w+w^3}{1-w^3}$ は,
$w=0,\pm \sqrt{-1}$ に一位の零点
$w=\zeta_3^k(k=0,1,2)$ に一位の極を持つ.

zの座標でまとめると,
$f$ は $z=\infty,\pm \sqrt{-1}$ に一位の零点
$z=\zeta_3^k(k=0,1,2)$ に一位の極をもつ.

次は $g$ について考えていこう.
$g_w(w)=g_z(\frac{1}{w})$ から
$g_w(w)$ $=(\frac{1}{w})^4-1$ $=\frac{1-w^4}{w^4}$
これは有理型関数なので, 二つの有理型関数, [texg_z], $g_w$ が貼りあわせると, $g$ が得られる.
次はこの $f$ の零点と曲を調べていく,
$g_z(z)=z^4-1$ は,
$z=\zeta_4^k(k=0,1,2,3)$ に一位の零点

$g_w(w)=\frac{1-w^4}{w^4}$ は,
$w=\zeta_4^k(k=0,1,2,3)$ に一位の零点
$w=0$ に一位の極を持つ.

zの座標でまとめると,
$g$ は $z=\zeta_4^k(k=0,1,2,3)$ に一位の零点
$z=\infty$ に一位の極を持つ.

３. について
$h_z(z)$ が $\mathbb{P}^1$ 上の有理型関数に延長されたとすると, $h_w(w)=h_z(\frac{1}{w})$ から,
$h_w(w)=e^{\frac{1}{w}}$ . これは $\mathbb{C}_w$ 上の有理型関数に拡張されない. 実際 $w=0$ のLaurent展開を考えると.
$h_w(w)=e^{\frac{1}{w}}$
$=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{w})^n$ となり. $w=0$ で真性特異点を持つ.

*1:小木曽啓示　(2002)　「代数曲線論」　朝倉書店

*2:問題略解では $\pm 1となっているが,そううると[tex:1$ が零点かつ極になる.]